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复数 (II) (4) 复变函数 本章中，kkk 表示任意整数． 4.1 复数的开方运算 一般地，如果复数 www 满足 wn=z(n∈N∗,z∈C)w^n=z(n\in\Bbb{N}^*,z\in\Bbb{C})wn=z(n∈N∗,z∈C)，那么 www 叫作 zzz 的一个 nnn 次方根，记作 w=znw=\sqrt[n]{z}w=nz​． 设 zzz 和 www 的三角形式为 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ),w=ρ(cos⁡φ+isin⁡φ)z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta),w=\rho(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)z=r(cosθ+isinθ),w=ρ(cosφ+isinφ)，则根据棣莫弗公式有 [ρ(cos⁡φ+isin⁡φ)]n=r(cos⁡θ+isin⁡θ) ,ρn(cos⁡nφ+isin⁡nφ)=r(cos⁡θ+isin⁡θ) .\begin{aligned} \big[\rho(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\big]^n &=...

复数 (I) (0) 数集的扩充 自人类诞生以来，数的概念就在不断地发展着． 为了计数的需要，人们发展了自然数集的概念，建立了自然数集 N\Bbb{N}N． 在自然数集 N\Bbb{N}N 中，加法与乘法总能实施．但是，小数不能减大数，方程 x+6=0x+6=0x+6=0 无解．由此引入负数，数集扩展到整数集 Z\Bbb{Z}Z． 在整数集 Z\Bbb{Z}Z 中，加法、减法与乘法总能实施．但是，由于除法只能解决整除的问题，方程 3x−2=03x-2=03x−2=0 无解．由此引入分数，数集扩展到有理数集 Q\Bbb{Q}Q． 在有理数集 Q\Bbb{Q}Q 中，加法、减法、乘法与除法（除数不为 000）总能实施．但是，开方的结果可能不是有理数，方程 x2−2=0x^2-2=0x2−2=0 无解．由此引入无理数，数集扩展到实数集 R\Bbb{R}R． 在实数集 R\Bbb{R}R 中，加法、减法、乘法与除法（除数不为 000）总能实施，并解决了正数的开方问题． 现在在实数集 R\Bbb{R}R 中，我们又面临着方程 x2+1=0x^2+1=0x2+1=0...

中线定理 如图，在 △ABC\triangle ABC△ABC 中，DDD 是 BCBCBC 的中点，则有 AB2+AC2=2AD2+12BC2=2AD2+2BD2=2AD2+2CD2 .AB^2+AC^2 = 2AD^2+\frac{1}{2}BC^2 = 2AD^2+2BD^2 = 2AD^2+2CD^2 ~. AB2+AC2=2AD2+21​BC2=2AD2+2BD2=2AD2+2CD2 . 即三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和 . 以下讨论中，设 AD=x,AB=c,AC=b,BC=aAD=x,AB=c,AC=b,BC=aAD=x,AB=c,AC=b,BC=a，原命题即化为 b2+c2=2x2+12a2 .b^2+c^2 = 2x^2+\frac{1}{2}a^2 ~. b2+c2=2x2+21​a2 . 第 1 种（繁） 如图，在 △ABC\triangle ABC△ABC 中，有...

《OI 子》三章 《骗分榜一，暴力爆零》by 20210732ktq 正解不如暴力，暴力不如骗分。一道题目，两种做法，想而编之而WA。夫想而编之，必有得正解者矣，然而WA者，是正解不如暴力也。手非不酸也，码非不短也，部分分非不多也，暴力非不正确也，排名第二，是暴力不如骗分也。故曰，AC不以思路之深，暴力不以代码之短，首杀不以手速之快。骗分者榜一，暴力者爆零。爆零之至，老师骂之。榜一之至，全球膜之。以全球之所膜，攻教练之所骂，故OIer有不战，战必AK。 《水题不能淫》by 20210927chr chr曰：“ktq，xcx岂不诚奆佬哉？骗分而OIers惧，正解而OI熄。” xrz曰：“是焉得为奆佬乎？子未学OI乎？奆佬之冠也，zc命之，蒟蒻之冠也，ls命之，往送之CSP，戒之曰：‘往之CSP，必敬必戒，无违考规！’以骗为正者，蒟蒻之道也。做天下之难题，写天下之正解，AK天下之比赛。AK，与OIers由之；不AK，自己切题。水题不能淫，难题不能移，毒瘤不能屈，此之谓奆佬。” 《生于练习，死于退费》by...

传送门 题意 有一棵 nnn 个节点的以 sss 为根的树。每条树边都有一个长度。每次操作可以把一条树边的长度加 111。 问：至少操作多少次，可以使根节点到每个叶子节点的距离相等。 结论 111 对于任意子树，其根节点到其每个叶子节点的距离相等。 证明： 反证法。 设对于根为 RRR 的树的根为 rrr 的某一子树，有两个叶子 aaa、bbb 到 rrr 的距离不等。 那么不妨设节点 xxx 与 yyy 间的距离为 dis(x,y)dis(x,y)dis(x,y)，则有 dis(a,r)≠dis(b,r)dis(a,r)\not=dis(b,r) dis(a,r)=dis(b,r) 所以 dis(a,r)+dis(r,R)≠dis(b,r)+dis(r,R)dis(a,r)+dis(r,R)\not=dis(b,r)+dis(r,R) dis(a,r)+dis(r,R)=dis(b,r)+dis(r,R) 得 dis(a,R)≠dis(b,R)dis(a,R)\not=dis(b,R) dis(a,R)=dis(b,R) 即 aaa、bbb 到 RRR...

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