中线定理
如图,在 △ABC 中,D 是 BC 的中点,则有
AB2+AC2=2AD2+21BC2=2AD2+2BD2=2AD2+2CD2 .
即三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和 .
以下讨论中,设 AD=x,AB=c,AC=b,BC=a,原命题即化为
b2+c2=2x2+21a2 .
第 1 种(繁)
如图,在 △ABC 中,有 AD=AB+BD=AC+CD .
于是有
AD⋅ADAD2AD2x22x2=(AB+BD)⋅(AC+CD)=AB⋅AC+AB⋅CD+BD⋅AC+BD⋅CD=ABACcosA+ABCDcosB+BDACcosC−BDCD=bccosA+21accosB+21abcosC−41a2=2bccosA+accosB+abcosC−21a2 .
由余弦定理
bccosAaccosBabcosC=2b2+c2−a2 ,=2a2+c2−b2 ,=2a2+b2−c2 .
代入,得
2x2=b2+c2−a2+21a2+21c2−21b2+21a2+21b2−21c2−21a2 .
即
2x2=b2+c2−21a2 .
即
b2+c2=2x2+21a2 .
第 2 种(余弦定理)
在 △ABD 与 △ABC 中,由余弦定理可得
{a2+c2−b2=2accosB41a2+c2−x2=accosB(1)(2)
(2)×2−(1) 可得
−21a2+c2+b2−2x2=0 .
即
b2+c2=2x2+21a2 .
在 △ACD 与 △ABC 中,相似的推理可得相同结论 .
第 3 种(作高)
如图,作 AE⊥BC 于 E .
若 E 在 D 的左侧,设 AE=h,BE=y,有
⎩⎨⎧h2+y2=c2h2+(21a−y)2=x2⟺h2−41a2−ay+y2=x2h2+(a−y)2=b2⟺h2+a2−2ay+y2=b2(1)(2)(3)
(1)+(3)−(2)×2 得
(h2+y2)+(h2+a2−2ay+y2)−2(h2+41a2−ay+y2)=b2+c2−2x2 .
即
−21a2=b2+c2−2x2 .
即
b2+c2=2x2+21a2 .