复数 (II)

(4) 复变函数

本章中，kk 表示任意整数 .

4.1 复数的开方运算

一般地，如果复数 ww 满足 wn=z(n∈N∗,z∈C)w^n=z(n\in\Bbb{N}^*,z\in\Bbb{C})，那么 ww 叫作 zz 的一个 nn 次方根，记作 w=znw=\sqrt[n]{z} .

设 zz 和 ww 的三角形式为 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ),w=ρ(cos⁡φ+isin⁡φ)z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta),w=\rho(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)，则根据棣莫弗公式有

[ρ(cos⁡φ+isin⁡φ)]n=r(cos⁡θ+isin⁡θ) ,ρn(cos⁡nφ+isin⁡nφ)=r(cos⁡θ+isin⁡θ) .\begin{aligned} \big[\rho(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\big]^n &= r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) ~, \\ \rho^n(\cos n\varphi+\mathrm{i}\sin n\varphi) &= r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) ~. \end{aligned}

则

{ρn=r  ⟹  ρ=rn ,nφ=θ+2kπ  ⟹  φ=θn+k⋅2πn .\begin{cases} \rho^n = r \implies \rho=\sqrt[n]{r} ~, \\ n\varphi = \theta+2k\pi \implies \varphi=\frac{\theta}{n}+k\cdot\frac{2\pi}{n} ~. \end{cases}

即

w=ρ(cos⁡φ+isin⁡φ)=rn[cos⁡(θn+k⋅2πn)+isin⁡(θn+k⋅2πn)] .w=\rho(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta}{n}+k\cdot\frac{2\pi}{n}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac{\theta}{n}+k\cdot\frac{2\pi}{n}\right)\right] ~.

由于 ρ,r∈(R+∪{0})\rho,r\in(\Bbb{R}_+\cup\{0\})，故 ρ\rho 有唯一值 .

容易发现，当 kk 取 0,1,2,…,n−10,1,2,\dots,n-1 时，ww 有 nn 个不同的值 .

再观察这 nn 个值的辐角，它们分别为 θn,θn+2πn,…,θn+(n−1)2πn\frac{\theta}{n},\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\dots,\frac{\theta}{n}+(n-1)\frac{2\pi}{n} . 容易发现，相邻两数的辐角都差 2πn\frac{2\pi}{n} . 又知它们的模都为 ρ=rn\rho=\sqrt[n]{r}，故这 nn 个数在复平面上平分以原点 OO 为圆心、半径为 ρ=rn\rho=\sqrt[n]{r} 的圆周 .

例 1：i3={cos⁡π6+isin⁡π6,cos⁡5π6+isin⁡5π6,cos⁡3π2+isin⁡3π2}={32+12i,−32+12i,−i}\sqrt[3]{\mathrm{i}} = \left\{\cos\frac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6},\cos\frac{5\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{5\pi}{6},\cos\frac{3\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{3\pi}{2}\right\} = \left\{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i},-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i},-\mathrm{i}\right\} .
这 33 个解在复平面中的点如图 4-1 所示 .
图 4-1

例 2：325={2,2ei2π5,2ei4π5,2ei6π5,2ei8π5}\sqrt[5]{32} = \left\{2,2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{5}},2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{5}},2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{6\pi}{5}},2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{8\pi}{5}}\right\} .
这 55 个解在复平面中的点如图 4-2 所示 .
图 4-2

4.2 复变函数的定义 代数基本定理

回顾上一节的内容 . 如果我们定义一个函数 f(z)=znf(z)=\sqrt[n]{z}（nn 是常数且 n∈Zn\in\Bbb{Z}），容易发现，对于一个复数 zz，f(z)f(z) 不只有 11 个值，而是有 nn 个值 . 这样的函数叫什么呢？

一般地，设 AA 是一个复数集，∀z∈A\forall z\in A，通过一个确定的规则 ff 有一个或若干个复数 ww 与之对应，就说在复数集 AA 上定义了一个复变函数 (complex function)，记为 w=f(z)w=f(z) .

容易从定义中看到，一个复变函数 w=f(z)w=f(z) 可能对于同一个数 zz 有多个值 . 其实实变函数中也有许多多值函数的例子，如 sin⁡x\sin x 的反函数 x=sin⁡yx=\sin y（注意不是 arcsin⁡x\arcsin x），其定义域为 [0,1][0,1]，就是一个多值函数：

图 4-3：sin(x) 的反函数 x=sin(y)

引入了复数的幂与根后，实数的多项式方程（一元 nn 次方程）可以被推广 .

对于一元 nn 次方程 anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a2x2+a1x+a0=0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0，现在 aa 可以是复数了；其解 xx 也可以是复数了 . 同时，一些原来在实数域中无解的方程有了解 .

如一元二次方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)ax^2+bx+c=0 (a,b,c\in\Bbb{C})，其两根为 x=−b+b2−4ac2ax=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，其中的平方根有两个值，故有两个解 .

高斯 (Gauss) 1799 年第一次证明了代数基本定理 (Fundamental theorem of algebra) . 其说明：任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根 . 或：任何一个非零的一元 nn 次复系数多项式，都正好有 nn 个复数根（重根视为多个根）.

图 4-4：卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) (1777/04/30-1855/02/23)

该定理的证明较为困难 . 但是，我们可以从复数的开方运算中获得一个直观的认识 .

4.3 复变指数函数

4.3.1 实变指数函数

欧拉指出的指数函数 exp⁡x\exp x 定义：

exp⁡x=lim⁡n→∞(1+xn)n\exp x = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n

由于有 e=lim⁡n→∞(1+1n)n,lim⁡n→∞((1+1n)n)x=lim⁡n→∞(1+xn)\mathrm{e}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)，故

ex=exp⁡x .\mathrm{e}^x = \exp x ~.

实变指数函数具有以下性质：

  • (ex)′=ex\left(\mathrm{e}^x\right)'=\mathrm{e}^x，即 exp⁡′x=exp⁡x\exp'x=\exp x，其处处可导；
  • ax=exln⁡aa^x=\mathrm{e}^{x\ln a}；
  • ex+y=exey\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^x\mathrm{e}^y，即 exp⁡(x+y)=exp⁡xexp⁡y\exp(x+y)=\exp x\exp y；
  • exy=(ex)y\mathrm{e}^{xy}=\left(\mathrm{e}^x\right)^y；即 exp⁡xy=exp⁡yx\exp xy=\exp^y x；
  • e−x=1ex\mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^x}，即 exp⁡(−x)=1exp⁡x\exp(-x)=\frac{1}{\exp x} .

它们对任意 x,y∈Rx,y\in\Bbb{R} 都是有效的 .

4.3.2 复变指数函数

我们试图把 exp⁡x\exp x 推广到复数域 .

设此函数为 f(z)f(z) . 我们希望它与实变的指数函数 exp⁡x\exp x 具有相似的性质 . 具体来说：

  1. f(z)f(z) 处处可导；
  2. f′(z)=f(z)f'(z)=f(z)；
  3. f(x0)=ex0f(x_0)=\mathrm{e}^{x_0}

这个函数存在且唯一 . 我们将其称为复变指数函数 (complex exponential function)，记作 exp⁡(x+iy) (x,y∈R)\exp (x+\mathrm{i}y)~(x,y\in\Bbb{R}) . 有

exp⁡(x+iy)=ex(cos⁡y+isin⁡y)=exeiy .\exp (x+\mathrm{i}y)=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)=\mathrm{e}^x\mathrm{e}^{\mathrm{i}y} ~.

验证，可知其满足上述条件 . （我也不会，反正是对的）

对于指数函数，有重要等式 eaeb=ea+b\mathrm{e}^a\mathrm{e}^b=\mathrm{e}^{a+b} .

验证可得：

exp⁡z1⋅exp⁡z2=ex1eiy1ex2eiy2=ex1+x2ei(y1+y2)=exp⁡(z1+z2)\exp z_1\cdot\exp z_2 = \mathrm{e}^{x_1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}y_1}\mathrm{e}^{x_2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}y_2}=\mathrm{e}^{x_1+x_2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(y_1+y_2)}=\exp(z_1+z_2)

可以发现，这个函数的性质与实变指数函数的性质几乎一模一样 . 那么，在不引起歧义的情况下，我们就用 ez\mathrm{e}^z 来表示 exp⁡z\exp z，即：

ez=exp⁡z .\mathrm{e}^z = \exp z ~.

要注意此处 ez\mathrm{e}^z 只是代替 exp⁡z\exp z 的一种写法，不能理解为 e\mathrm{e} 的 zz 次幂 . 这是两个不同的概念 .

令 x=0x=0，即得欧拉公式 eiθ=(cos⁡θ+isin⁡θ)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = (\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) .

例：e2+i=e2ei\mathrm{e}^{2+\mathrm{i}} = \mathrm{e}^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}} . 这是一个模为 e2\mathrm{e}^2，辐角为 1 rad1 ~\text{rad} 的数 .

4.4 复变对数函数

复变对数函数定义为指数函数的反函数 .

即，如果 ew=z\mathrm{e}^w=z，那么 ww 关于 zz 的函数就是复变对数函数 (complex logarithm function)，记作 w=Ln⁡zw=\operatorname{Ln}z .

已知 z=reiθz=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}，我们来求一下 ww .

设 w=a+biw=a+b\mathrm{i}，则有

ea+bi=reiθ ,eaebi=reiθ .\begin{aligned} \mathrm{e}^{a+b\mathrm{i}} &= r\mathrm{e}^{i\theta} ~, \\ \mathrm{e}^a\mathrm{e}^{b\mathrm{i}} &= r\mathrm{e}^{i\theta} ~. \end{aligned}

则

{ea=r  ⟺  a=ln⁡r ,b=θ+2kπ .\begin{cases} \mathrm{e}^a=r \iff a=\ln r ~, \\ b=\theta+2k\pi ~. \end{cases}

故 w=Ln⁡z=ln⁡r+(θ+2kπ)iw=\operatorname{Ln}z=\ln r+(\theta+2k\pi)\mathrm{i} .

容易发现，对数函数 w=Ln⁡zw=\operatorname{Ln}z 也是一个多值函数，它的所有值在与实轴垂直的一条直线上 .

若 θ+2kπ=θ0=arg⁡z\theta+2k\pi=\theta_0=\arg z，那么此时 ww 的值称为 zz 对数的主值 (principal value)，记作 ln⁡z\ln z，有 ln⁡z=ln⁡r+θ0i\ln z = \ln r+\theta_0\mathrm{i} . 容易发现，Ln⁡z=ln⁡z+2kπi\operatorname{Ln}z=\ln z+2k\pi\mathrm{i} .

对于一个固定的 kk，Ln⁡z\operatorname{Ln}z 会变成一个单值函数，这时的 Ln⁡z\operatorname{Ln}z 称为其的一个分支 (branch) . 主值也是它的一个分支 .

复变对数函数满足实变对数函数的某些性质 . 如：

  • Ln⁡(xy)=Ln⁡x+Ln⁡y\operatorname{Ln}(xy)=\operatorname{Ln}x+\operatorname{Ln}y；
  • Ln⁡(xy)=Ln⁡x−Ln⁡y\operatorname{Ln}\left(\frac{x}{y}\right)=\operatorname{Ln}x-\operatorname{Ln}y .

但同时，某些性质不满足 . 如：

  • Ln⁡(xn)≠nLn⁡x\operatorname{Ln}(x^n)\neq n\operatorname{Ln}x（nn 是大于 11 的正整数）

下面证明 Ln⁡(xn)≠nLn⁡x\operatorname{Ln}(x^n)\neq n\operatorname{Ln}x：

证明：

下面举几个例子：

Ln⁡(−1)=ln⁡1+(π+2kπ)i=(2k+1)πi\operatorname{Ln}(-1)=\ln 1+(\pi+2k\pi)\mathrm{i}=(2k+1)\pi\mathrm{i}
Ln⁡(1+i)=ln⁡2+(π4+2kπ)i=ln⁡22+(π4+2kπ)i\operatorname{Ln}(1+\mathrm{i})=\ln\sqrt{2}+\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\mathrm{i}=\frac{\ln 2}{2}+\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\mathrm{i}

4.5 复数的复数次幂

有了复数的指数函数和对数函数，我们就可以定义复数的乘幂了 .

如果 a,b∈Ca,b\in\Bbb{C}，那么我们定义 ab=ebLn⁡a=exp⁡(bLn⁡a)a^b=\mathrm{e}^{b\operatorname{Ln}a}=\exp(b\operatorname{Ln}a) . 注意到这里的 ez\mathrm{e}^z 为指数函数 exp⁡z\exp z .

Ln⁡a\operatorname{Ln}a 是多值的，bLn⁡ab\operatorname{Ln}a 就是多值的，所以整体也就是多值的 .

到这就可以理解为什么 ez\mathrm{e}^z 理解为指数函数和幂是不一样的了 . 举个例子：

exp⁡i=cos⁡1+isin⁡1\exp\mathrm{i} = \cos 1+\mathrm{i}\sin 1；
ei=exp⁡(iLn⁡e)=exp⁡[i(ln⁡e+2kπi)]=exp⁡(i+2kπ)=(cos⁡1+sin⁡1)e2kπ\mathrm{e}^{\mathrm{i}} = \exp(i\operatorname{Ln}\mathrm{e}) = \exp\big[\mathrm{i}(\ln\mathrm{e}+2k\pi\mathrm{i})\big] = \exp(\mathrm{i}+2k\pi) = (\cos 1+\sin 1)e^{2k\pi} .
显然这两个式子的值完全不同 .

事实上，在这种乘幂的定义下，只要底数 a≠0a\neq 0：

  1. 指数 b∈Zb\in\Bbb{Z} 时，aba^b 单值；
  2. 指数 b∈Qb\in\Bbb{Q} 时，若 b=pq(p,q∈Z,gcd⁡(p,q)=1)b=\frac{p}{q} (p,q\in\Bbb{Z},\gcd(p,q)=1)，aba^b 有 qq 个值；
  3. 指数 bb 为其他数（无理数或虚数）时，aba^b 有无穷多个值 .
    比如 1π,(1+i)23,ii,(2+i)1+2i1^\pi,(1+\mathrm{i})^{\sqrt[3]{2}},\mathrm{i}^\mathrm{i},(2+\mathrm{i})^{1+2\mathrm{i}} 都有无穷多个值 .
    其中有趣的是，计算可得 ii=exp⁡(iLn⁡i)=exp⁡[i(π2+2kπ)i]=exp⁡(−π2+2kπ)∈R\mathrm{i}^\mathrm{i} = \exp(\mathrm{i}\operatorname{Ln}\mathrm{i}) = \exp\left[\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\mathrm{i}\right]=\exp\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\in\Bbb{R} .

下面逐个证明上面三条 .

设 a=reiθa=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} .

(1) 指数 b∈Zb\in\Bbb{Z} 时，aba^b 单值 .

证明：当 b∈Zb\in\Bbb{Z} 时，有：

ab=exp⁡(bLn⁡a)=exp⁡(b(ln⁡r+(θ+2kπ)i))=exp⁡(bln⁡r+b(θ+2kπ)i)=ebln⁡rei(bθ+b⋅2kπ)∵b∈Z,∴ab=ebln⁡reibθ\begin{aligned} a^b &= \exp(b\operatorname{Ln}a) \\ &= \exp\left(b\left(\ln r+\left(\theta+2k\pi\right)\mathrm{i}\right)\right) \\ &= \exp(b\ln r+b(\theta+2k\pi)\mathrm{i}) \\ &= \mathrm{e}^{b\ln r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(b\theta+b\cdot 2k\pi)} \\ \because b\in\Bbb{Z},\therefore a^b &= \mathrm{e}^{b\ln r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}b\theta} \end{aligned}

结果唯一 . 证毕 .

(2) 指数 b∈Qb\in\Bbb{Q} 时，若 b=pq(p,q∈Z,gcd⁡(p,q)=1)b=\frac{p}{q} (p,q\in\Bbb{Z},\gcd(p,q)=1)，aba^b 有 qq 个值 .

证明：当 b=pq∈Q (p,q∈Z,gcd⁡(p,q)=1)b=\frac{p}{q}\in\Bbb{Q}~(p,q\in\Bbb{Z},\gcd(p,q)=1) 时，有

ab=exp⁡(bLn⁡a)=exp⁡(pq(ln⁡r+(θ+2kπ)))=exp⁡(pln⁡r+p(θ+2kπ)iq)=exp⁡(pln⁡rq+p(θ+2kπ)iq)=epln⁡rq⋅ei(pqθ+pk⋅2πq)\begin{aligned} a^b &= \exp(b\operatorname{Ln}a) \\ &= \exp\left(\vcenter{\frac{p}{q}\left(\ln r+\left(\theta+2k\pi\right)\right)}\right) \\ &= \exp\left(\vcenter{\frac{p\ln r+p\left(\theta+2k\pi\right)\mathrm{i}}{q}}\right) \\ &= \exp\left(\vcenter{\frac{p\ln r}{q}+\frac{p\left(\theta+2k\pi\right)\mathrm{i}}{q}}\right) \\ &= \mathrm{e}^{\frac{p\ln r}{q}}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\vcenter{\frac{p}{q}\theta+pk\cdot\frac{2\pi}{q}}\right)} \end{aligned}

epln⁡rq\mathrm{e}^{\frac{p\ln r}{q}} 是实数域内的计算，值唯一；ei(pqθ+pk⋅2πq)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{p}{q}\theta+pk\cdot\frac{2\pi}{q}\right)} 中，由于 gcd⁡(p,q)=1\gcd(p,q)=1，故有 qq 个不同值 . 故该式整体上有 qq 个不同值 . 证毕 .

(3) 指数 bb 为其他数（无理数或虚数）时，aba^b 有无穷多个值 .

证明略 . 显而易见 .

4.6 复变三角函数与双曲函数

to do.