复数 (II)

(4) 复变函数

本章中，$k$ 表示任意整数 .

4.1 复数的开方运算

一般地，如果复数 $w$ 满足 $w^n=z(n\in\Bbb{N}^*,z\in\Bbb{C})$，那么 $w$ 叫作 $z$ 的一个 $n$ 次方根，记作 $w=\sqrt[n]{z}$ .

设 $z$ 和 $w$ 的三角形式为 $z=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta),w=\rho(\cos\varphi+\text{i}\sin\varphi)$，则根据棣莫弗公式有

$$\begin{aligned} \big[\rho(\cos\varphi+\text{i}\sin\varphi)\big]^n &= r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta) ~, \\ \rho^n(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi) &= r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta) ~. \end{aligned}$$

则

$$\begin{cases} \rho^n = r \implies \rho=\sqrt[n]{r} ~, \\ n\varphi = \theta+2k\pi \implies \varphi=\frac{\theta}{n}+k\cdot\frac{2\pi}{n} ~. \end{cases}$$

即

$$w=\rho(\cos\varphi+\text{i}\sin\varphi)=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta}{n}+k\cdot\frac{2\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{\theta}{n}+k\cdot\frac{2\pi}{n}\right)\right] ~.$$

由于 $\rho,r\in(\Bbb{R}_+\cup\{0\})$，故 $\rho$ 有唯一值 .

容易发现，当 $k$ 取 $0,1,2,\dots,n-1$ 时，$w$ 有 $n$ 个不同的值 .

再观察这 $n$ 个值的辐角，它们分别为 $\frac{\theta}{n},\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\dots,\frac{\theta}{n}+(n-1)\frac{2\pi}{n}$ . 容易发现，相邻两数的辐角都差 $\frac{2\pi}{n}$ . 又知它们的模都为 $\rho=\sqrt[n]{r}$，故这 $n$ 个数在复平面上平分以原点 $O$ 为圆心、半径为 $\rho=\sqrt[n]{r}$ 的圆周 .

例 1：$\sqrt[3]{\text{i}} = \left\{\cos\frac{\pi}{6}+\text{i}\sin\frac{\pi}{6},\cos\frac{5\pi}{6}+\text{i}\sin\frac{5\pi}{6},\cos\frac{3\pi}{2}+\text{i}\sin\frac{3\pi}{2}\right\} = \left\{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i},-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i},-\text{i}\right\}$ .
这 $3$ 个解在复平面中的点如图 4-1 所示 .

例 2：$\sqrt[5]{32} = \left\{2,2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{5}},2\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{5}},2\text{e}^{\text{i}\frac{6\pi}{5}},2\text{e}^{\text{i}\frac{8\pi}{5}}\right\}$ .
这 $5$ 个解在复平面中的点如图 4-2 所示 .

4.2 复变函数的定义 代数基本定理

回顾上一节的内容 . 如果我们定义一个函数 $f(z)=\sqrt[n]{z}$（$n$ 是常数且 $n\in\Bbb{Z}$），容易发现，对于一个复数 $z$，$f(z)$ 不只有 $1$ 个值，而是有 $n$ 个值 . 这样的函数叫什么呢？

一般地，设 $A$ 是一个复数集，$\forall z\in A$，通过一个确定的规则 $f$ 有一个或若干个复数 $w$ 与之对应，就说在复数集 $A$ 上定义了一个复变函数 (complex function)，记为 $w=f(z)$ .

容易从定义中看到，一个复变函数 $w=f(z)$ 可能对于同一个数 $z$ 有多个值 . 其实实变函数中也有许多多值函数的例子，如 $\sin x$ 的反函数 $x=\sin y$（注意不是 $\arcsin x$），其定义域为 $[0,1]$，就是一个多值函数：

引入了复数的幂与根后，实数的多项式方程（一元 $n$ 次方程）可以被推广 .

对于一元 $n$ 次方程 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0$，现在 $a$ 可以是复数了；其解 $x$ 也可以是复数了 . 同时，一些原来在实数域中无解的方程有了解 .

如一元二次方程 $ax^2+bx+c=0 (a,b,c\in\Bbb{C})$，其两根为 $x=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中的平方根有两个值，故有两个解 .

高斯 (Gauss) 1799 年第一次证明了代数基本定理 (Fundamental theorem of algebra) . 其说明：任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根 . 或：任何一个非零的一元 $n$ 次复系数多项式，都正好有 $n$ 个复数根（重根视为多个根）.

该定理的证明较为困难 . 但是，我们可以从复数的开方运算中获得一个直观的认识 .

4.3 复变指数函数

4.3.1 实变指数函数

欧拉指出的指数函数 $\exp x$ 定义：

$$\exp x = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$

由于有 $\text{e}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)$，故

$$\text{e}^x = \exp x ~.$$

实变指数函数具有以下性质：

• $\left(\text{e}^x\right)'=\text{e}^x$，即 $\exp'x=\exp x$，其处处可导；
• $a^x=\text{e}^{x\ln a}$；
• $e^{x+y}=e^xe^y$，即 $\exp(x+y)=\exp x\exp y$；
• $e^{xy}=\left(e^x\right)^y$；即 $\exp xy=\exp^y x$；
• $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$，即 $\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}$ .

它们对任意 $x,y\in\Bbb{R}$ 都是有效的 .

4.3.2 复变指数函数

我们试图把 $\exp x$ 推广到复数域 .

设此函数为 $f(z)$ . 我们希望它与实变的指数函数 $\exp x$ 具有相似的性质 . 具体来说：

1. $f(z)$ 处处可导；
2. $f'(z)=f(z)$；
3. $f(x_0)=\text{e}^{x_0}$

这个函数存在且唯一 . 我们将其称为复变指数函数 (complex exponential function)，记作 $\exp (x+\text{i}y)~(x,y\in\Bbb{R})$ . 有

$$\exp (x+\text{i}y)=\text{e}^x(\cos y+\text{i}\sin y)=\text{e}^x\text{e}^{\text{i}y} ~.$$

验证，可知其满足上述条件 . （我也不会，反正是对的）

对于指数函数，有重要等式 $\text{e}^a\text{e}^b=\text{e}^{a+b}$ .

验证可得：

$$\exp z_1\cdot\exp z_2 = \text{e}^{x_1}\text{e}^{\text{i}y_1}\text{e}^{x_2}\text{e}^{\text{i}y_2}=\text{e}^{x_1+x_2}\text{e}^{\text{i}(y_1+y_2)}=\exp(z_1+z_2)$$

可以发现，这个函数的性质与实变指数函数的性质几乎一模一样 . 那么，在不引起歧义的情况下，我们就用 $\text{e}^z$ 来表示 $\exp z$，即：

$$\text{e}^z = \exp z ~.$$

要注意此处 $\text{e}^z$ 只是代替 $\exp z$ 的一种写法，不能理解为 $\text{e}$ 的 $z$ 次幂 . 这是两个不同的概念 .

令 $x=0$，即得欧拉公式 $\text{e}^{\text{i}\theta} = (\cos\theta+\text{i}\sin\theta)$ .

例：$\text{e}^{2+\text{i}} = \text{e}^2\text{e}^{\text{i}}$ . 这是一个模为 $\text{e}^2$，辐角为 $1 ~\text{rad}$ 的数 .

4.4 复变对数函数

复变对数函数定义为指数函数的反函数 .

即，如果 $\text{e}^w=z$，那么 $w$ 关于 $z$ 的函数就是复变对数函数 (complex logarithm function)，记作 $w=\operatorname{Ln}z$ .

已知 $z=r\text{e}^{\text{i}\theta}$，我们来求一下 $w$ .

设 $w=a+b\text{i}$，则有

$$\begin{aligned} \text{e}^{a+b\text{i}} &= r\text{e}^{i\theta} ~, \\ \text{e}^a\text{e}^{b\text{i}} &= r\text{e}^{i\theta} ~. \end{aligned}$$

则

$$\begin{cases} \text{e}^a=r \iff a=\ln r ~, \\ b=\theta+2k\pi ~. \end{cases}$$

故 $w=\operatorname{Ln}z=\ln r+(\theta+2k\pi)\text{i}$ .

容易发现，对数函数 $w=\operatorname{Ln}z$ 也是一个多值函数，它的所有值在与实轴垂直的一条直线上 .

若 $\theta+2k\pi=\theta_0=\arg z$，那么此时 $w$ 的值称为 $z$ 对数的主值 (principal value)，记作 $\ln z$，有 $\ln z = \ln r+\theta_0\text{i}$ . 容易发现，$\operatorname{Ln}z=\ln z+2k\pi\text{i}$ .

对于一个固定的 $k$，$\operatorname{Ln}z$ 会变成一个单值函数，这时的 $\operatorname{Ln}z$ 称为其的一个分支 (branch) . 主值也是它的一个分支 .

复变对数函数满足实变对数函数的某些性质 . 如：

• $\operatorname{Ln}(xy)=\operatorname{Ln}x+\operatorname{Ln}y$；
• $\operatorname{Ln}\left(\frac{x}{y}\right)=\operatorname{Ln}x-\operatorname{Ln}y$ .

但同时，某些性质不满足 . 如：

• $\operatorname{Ln}(x^n)\neq n\operatorname{Ln}x$（$n$ 是大于 $1$ 的正整数）

下面证明 $\operatorname{Ln}(x^n)\neq n\operatorname{Ln}x$：

证明：

下面举几个例子：

$\operatorname{Ln}(-1)=\ln 1+(\pi+2k\pi)\text{i}=(2k+1)\pi\text{i}$
$\operatorname{Ln}(1+\text{i})=\ln\sqrt{2}+\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\text{i}=\frac{\ln 2}{2}+\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\text{i}$

4.5 复数的复数次幂

有了复数的指数函数和对数函数，我们就可以定义复数的乘幂了 .

如果 $a,b\in\Bbb{C}$，那么我们定义 $a^b=\text{e}^{b\operatorname{Ln}a}=\exp(b\operatorname{Ln}a)$ . 注意到这里的 $\text{e}^z$ 为指数函数 $\exp z$ .

$\operatorname{Ln}a$ 是多值的，$b\operatorname{Ln}a$ 就是多值的，所以整体也就是多值的 .

到这就可以理解为什么 $\text{e}^z$ 理解为指数函数和幂是不一样的了 . 举个例子：

$\exp\text{i} = \cos 1+\text{i}\sin 1$；
$\text{e}^{\text{i}} = \exp(i\operatorname{Ln}\text{e}) = \exp\big[\text{i}(\ln\text{e}+2k\pi\text{i})\big] = \exp(\text{i}+2k\pi) = (\cos 1+\sin 1)e^{2k\pi}$ .
显然这两个式子的值完全不同 .

事实上，在这种乘幂的定义下，只要底数 $a\neq 0$：

1. 指数 $b\in\Bbb{Z}$ 时，$a^b$ 单值；
2. 指数 $b\in\Bbb{Q}$ 时，若 $b=\frac{p}{q} (p,q\in\Bbb{Z},\gcd(p,q)=1)$，$a^b$ 有 $q$ 个值；
3. 指数 $b$ 为其他数（无理数或虚数）时，$a^b$ 有无穷多个值 .
   比如 $1^\pi,(1+\text{i})^{\sqrt[3]{2}},\text{i}^\text{i},(2+\text{i})^{1+2\text{i}}$ 都有无穷多个值 .
   其中有趣的是，计算可得 $\text{i}^\text{i} = \exp(\text{i}\operatorname{Ln}\text{i}) = \exp\left[\text{i}\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\text{i}\right]=\exp\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\in\Bbb{R}$ .

下面逐个证明上面三条 .

设 $a=r\text{e}^{\text{i}\theta}$ .

(1) 指数 $b\in\Bbb{Z}$ 时，$a^b$ 单值 .

证明：当 $b\in\Bbb{Z}$ 时，有：

$$\begin{aligned} a^b &= \exp(b\operatorname{Ln}a) \\ &= \exp\left(b\left(\ln r+\left(\theta+2k\pi\right)\text{i}\right)\right) \\ &= \exp(b\ln r+b(\theta+2k\pi)\text{i}) \\ &= \text{e}^{b\ln r}\text{e}^{\text{i}(b\theta+b\cdot 2k\pi)} \\ \because b\in\Bbb{Z},\therefore a^b &= \text{e}^{b\ln r}\text{e}^{\text{i}b\theta} \end{aligned}$$

结果唯一 . 证毕 .

(2) 指数 $b\in\Bbb{Q}$ 时，若 $b=\frac{p}{q} (p,q\in\Bbb{Z},\gcd(p,q)=1)$，$a^b$ 有 $q$ 个值 .

证明：当 $b=\frac{p}{q}\in\Bbb{Q}~(p,q\in\Bbb{Z},\gcd(p,q)=1)$ 时，有

$$\begin{aligned} a^b &= \exp(b\operatorname{Ln}a) \\ &= \exp\left(\frac{p}{q}\left(\ln r+\left(\theta+2k\pi\right)\right)\right) \\ &= \exp\left(\frac{p\ln r+p\left(\theta+2k\pi\right)\text{i}}{q}\right) \\ &= \exp\left(\frac{p\ln r}{q}+\frac{p\left(\theta+2k\pi\right)\text{i}}{q}\right) \\ &= \text{e}^{\frac{p\ln r}{q}}\cdot\text{e}^{\text{i}\left(\frac{p}{q}\theta+pk\cdot\frac{2\pi}{q}\right)} \end{aligned}$$

$\text{e}^{\frac{p\ln r}{q}}$ 是实数域内的计算，值唯一；$\text{e}^{\text{i}\left(\frac{p}{q}\theta+pk\cdot\frac{2\pi}{q}\right)}$ 中，由于 $\gcd(p,q)=1$，故有 $q$ 个不同值 . 故该式整体上有 $q$ 个不同值 . 证毕 .

(3) 指数 $b$ 为其他数（无理数或虚数）时，$a^b$ 有无穷多个值 .

证明略 . 显而易见 .

4.6 复变三角函数与双曲函数

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